[확통]Birthday Problem과 확률의 특성 문제

1. 확률의 기본 정리 중에서 옳은 것을 고르시오.

a) P(∅) = 1, P(S) = 1

b) P(∅) = 1, P(S) = 0

c) P(∅) = 0, P(S) = 1

d) $P(\cup A_n)$ (n= 1~∞) = $P(\sum_{n=1}^∞P(A_n))$ 일 때, $A_i, A_j$ 는 서로 약수 관계이다. 

 

2. 다음 중 확률의 기본 정리를 활용하여 증명할 수 있는 것을 모두 고르시오.

a) $P(A^c) = 1 - P(A)$

b) $if A ⊂B, then P(A) ≤ P(B)$

c) $P(A \cap B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)$

d)

 

3. 표본 공간 S가 있다고 가정했을 때, 집합 A, B, C 의 합집합($P(A \cup B \cup C)$)을 구하는 공식으로 옳은 것은? (중복 있음)

a) $P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(C \cap C)$

b) $P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(C \cap C)+P(A \cap B \cap C)$

c) $P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)+P(A \cap B \cap C)$

d) $P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(C \cap C)+P(A \cup B \cup C)$

 

4. 다음의 빈칸에 맞게 들어갈 번호를 <보기>에서 골라 순서대로 적으시오. 

n장의 카드가 있습니다. 이 카드에는 1부터 n까지의 숫자가 적혀있습니다. 카드를 한 장씩 뒤집는 게임을 진행하는데 카드를 한 장씩 뒤집을 때마다 여러분은 1부터 n까지의 숫자를 세는 게임을 진행합니다. 제가 뒤집은 카드의 숫자가 여러분이 센 숫자와 같으면 여러분이 이기게 됩니다. 이 때 최소 한장의 카드에 적힌 숫자가 카드 뭉치의 위치와 같을 확률을 구하는 방법은 다음과 같습니다. 

 

j번째 카드에 숫자 j가 써져 있는 확률을 구하기 위해 1~n장의 카드 중에서 최소 한 장의 카드가 매칭되어서 여러분이 게임에서 이길 확률을 구하고자 합니다. 

(1) $P(A_j)$ 는  카드 j가 j번째에 있을 확률이다. 예를 들어, 카드 52장 중에 스페이드 카드는 52장 중 전부 위치할 수 있기 때문에 이때의 확률은 $\frac{1}{52}$이다. 이를 바탕으로 모든 위치에 대한 확률이 같은 확률이라고 할 때 n장의 카드 중에서 숫자 j가 있을 수 있는 확률은 (a)____가 된다. 

 

(2) $P(A_1 \cap A_2)$ 는 1번과 2번카드를 선택했을 때 각각 카드뭉치의 첫 번째와 두 번째에 위치할 확률이다. 총 n장의 카드가 배열되는 총 경우의 수는 $n!$이며, 이는 확률의 분모가 된다. 이후 1과 2번 카드를 제외하고 나머지 (n-2)장의 카드는 어떠한 순서에도 위치 가능하기 때문에 이를 나열하는 총 경우의 수는 (b)____이며, 이에 따라 $P(A_1 \cap A_2)$ 는 (c)___가 된다. 

 

(3)앞서 구한 교집합처럼 이것을 1부터 n장의 숫자로 계속 하게 된다면 확률은 $P(A_1 \cap A_2 \cap ... A_k)$ 와 같이 나타내어지며, 이는 맨 위부터 k장의 카드가 정확히 1부터 k까지 위치한 상황을 의미한다. 이는 나머지 (n-k)장의 카드가 어떤 순서가 되든지 상관없다는 사실을 의미하기 때문에 해당 확률의 분모는 (d)____되고, 분자는 (e)____이 된다. 

 

(4)이제 이 확률들을 바탕으로 포함배제의 원리를 활용하여 문제를 풀면 다음과 같다. 카드j가 j번째 있을 확률은 총 n장에 대해서 모두 발생할 수 있기 때문에 (f)____ 이 되고, (2) 확률에 대해서는 전체 n장 중에 카드 2장을 고르기 때문에 (c)에 (g)_____ 곱한값을 (h)_____에서 빼준다. 이런식으로 전체 n장 중에 3장을 고르는 경우의 교집합을 빼고, 4장 ... n장까지 빼주게 된다면 식은 테일러 급수 형태를 띄게 되어 최종 답은 (i)____이 된다 . 

 

<보기>

1. $\frac{1}{(n-j)!}$

2. (n-k)!

3. $\frac{n(n-1)}{2!}$

4. $\frac{n}{n!}$

5. $1 - \frac{1}{e}$

6. $\frac{1}{(n-k-1)!}$

7. $\frac{(n-2)!}{(n)!}$

8. $\frac{1}{n}$

9. n!

10. (n-2)!

11. 1

12. $\frac{1}{e}$